Problemas de aplicación.

PROBLEMA 1

La tarifa de un remis es de $18,40 por la bajada de bandera y $1,40 por cada cuadra recorrida.

a)      Hallar la función lineal que representa la situación.

b)      ¿Cuánto debo pagar si recorrí 20 cuadras? ¿y 3 kilómetros?

c)      Si mi amiga Ana pagó $54,80 ¿Cuántas cuadras recorrió?

d)      Graficar teniendo en cuenta el contexto del problema.

Resolución:

a)      Podemos hallar una función que modelice el precio total a pagar según la cantidad de cuadras recorridas, siendo en éste caso:

·         Variable independiente (x): cantidad de cuadras recorridas.

·         Variable dependiente (y): precio a pagar (en $).

Voy planteando diferentes valores hasta encontrar una regularidad y poder armar la función:

·         Si recorro 1 cuadra el precio es: 18,40+1,40.(1) = 19,80

·         Si recorro 2 cuadras: 18,40+1,40.(2) = 21,20

·         Si recorro 3 cuadras: 18,40+1,40.(3) = 22,60

·         (…)

·         Si recorro x cuadras el precio será: 18,40+1,40x = y

Entonces la función es: f(x)= 18,40+1,40x

b)     Si recorrí 20 cuadras: x=20, entonces:

y= 18,40+1,40.(20)= 46,40           precio a pagar por 20 cuadras.

Antes de calcular el precio por recorrer 3 km se debe hallar su equivalencia en cuadras (ya que x representa la cantidad de cuadras recorridas):

3 km = 3000 mts = 30 cuadras

Entonces, para x=30 el precio será:

y= 18,40+1,40.(30)= 60,40      precio a pagar por 30 cuadras.

c)      Si Ana pagó $54,80, será y=54,80, entonces despejo x de la ecuación para hallar la cantidad de cuadras recorridas:

54,80 = 18,40+1,40x

      54,80-18,40 = 1,40x

    36,40 = 1,40x

       36,40/1,40 = x

         26 = x                 recorrió 26 cuadras.

d)     Gráfico de la situación:

(Tal como se observa la función en éste contexto sólo está definida para valores positivos de x, ya que hace referencia a la cantidad de cuadras).

PROBLEMA 2

El ritmo cardíaco r (en latidos por minuto) de un gato es función lineal de su temperatura corporal t (en grados Celcius). En condiciones de laboratorio un gato con 37°C tiene un ritmo cardíaco de 200 pulsaciones por minuto, y de 150 si su temperatura es de 32°C.

a) Hallar la función que representa la situación.

b) ¿Cuántas pulsaciones puede tener el gato si su temperatura corporal de de 30°C?

c) ¿A qué temperatura corporal su ritmo cardíaco es de 100 pulsaciones por minuto?

Resolución:

a) En un principio, deberíamos identificar las variables de la función:

- variable independiente: temperatura corporal del gato (t, en °C)

- variable dependiente: ritmo cardíaco (r, en pulsaciones por minuto)

Por lo tanto la función lineal que necesitamos está dada por r(t).

Tenemos como datos que:

Con 37°C el ritmo es de 200.

Con 32°C el ritmo es de 150.

De aquí entonces tenemos dos puntos por los cuales pasa la recta de la función que necesitamos:

Con 37°C el ritmo es de 200: P₁= (37; 200)

Con 32°C el ritmo es de 150: P₂= (32; 150)

Por lo tanto para determinar la función, primero calculo la pendiente y luego con la forma “punto-pendiente” hallo la ecuación de la recta:

En la forma punto-pendiente sustituyo la pendiente m= 10 y las variables con las coordenadas del punto P₁= (37; 200) (con el otro punto también llegaría al mismo resultado):

y-y₁= m.(x-x₁)

y-200= 10.(x-37)                   sustituyo los valores

y-200 = 10x-370                     aplico propiedad distributiva

y = 10x-370+200       

y = 10x-170               Ecuación de la recta

Por lo tanto la función es : r(t)= 10t-170

b) Si la temperatura es de 30°C, sustituyo t por 30 en la función y el resultado serán las pulsaciones del gato con esa temperatura:

r(30)= 10.(30)-170 = 300-170 = 130 pulsaciones por minuto

c) Si el ritmo es de 100 pulsaciones, para calcular su temperatura corporal sustituyo r por 100 y despejo t:

100 = 10t-170

100+170 = 10t

270 = 10t

270 /10 = t

27 = t

Por lo tanto la temperatura corporal es de 27°C cuando las pulsaciones son de 100 por minuto.

(Si haces click aquí podrás ver otros dos problemas resueltos)

PROBLEMAS PARA RESOLVER

1)      Los biólogos han descubierto que el número de chirridos que los grillos de cierta especie emiten por minuto está relacionado con la temperatura. La relación es una función lineal. A 60°F los grillos chirrían 124 veces por minuto aproximadamente, mientras que a 80°F, lo hacen 172 veces por minuto.

a)      Obtener la función que relaciona el número de chirridos por minuto con la temperatura en Fahrenheit.

b)      Si la temperatura es de 72°F ¿Cuántas veces chirrían por minuto? ¿Y si es de 83°F?

c)       ¿Cuál es la temperatura si se contaron 132 chirridos?

2)      En una experiencia realizada en invernaderos se determinó que el porcentaje de semillas germinadas depende de la temperatura ambiental. Para una variedad de semillas de tomates el 40% germina a 12°C, mientras que a 15°C germina el 17% de las mismas. Si el porcentaje de semillas germinadas (p) es función lineal de la temperatua (t en °C):

a)      Obtener la función matemática que relaciona p y t.

b)      Calcular el porcentaje de germinación a 10°C.

c)       Hallar la temperatura necesaria para obtener un 90% de semillas germinadas.

d)      Representar gráficamente.

3)      Una máquina envasadora de gaseosas en una fábrica llena botellas en la proporción indicada en la siguiente tabla:

TIEMPO (horas)	2	8
NÚMERO DE BOTELLAS LLENADAS	250	1000

a)      Obtener la función lineal que relaciona el número de botellas que la máquina va llenando en función del tiempo.

b)      Si la máquina envasó 500 botellas ¿En cuánto tiempo lo hiso?

c)       ¿Cuánto tardó en llenar 725 botellas?

d)      Si tardó 6 horas ¿Cuántas botellas llenó? ¿Y si tardó 10 horas y media?

4)      Un repartidor de pizza que trabaja los fines de semana, gana por día $250 más una comisión de $8 por cada pizza entregada. Determinar la función que relaciona la ganancia que obtiene durante un día en función de la cantidad de pizzas repartidas.