Rectas paralelas y perpendiculares

RECTAS PARALELAS: dos rectas son paralelas, si y sólo si, sus pendientes son iguales.

Ejemplo: Las rectas de las funciones:      

f(x) = ½ x +3

g(x) = ½ x -1

son paralelas porque la pendiente en ambas es ½ .

RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas son perpendiculares, si y sólo si, sus pendientes son inversas y opuestas.

Ejemplo: Las rectas de las funciones:

f(x)= 2/3  x +1

g(x)= -3/2  x +4

son perpendiculares porque en f(x) la pendiente es 2/3, y en g(x) es -3/2.

EJEMPLO: Hallar la recta paralela a y= 5/3 x -4 que pasa por el punto P₁ = (-3; -4), y la recta perpendicular que pasa por el punto P₂ = (10; -3).

Primero hallamos la recta paralela, la cual tendrá la misma pendiente: m₁ = 5/3 , por lo que podemos comenzar a escribir su ecuación como:

y₁=  5/3  x + b

Para calcular el valor de la ordenada al origen, sustituimos los valores de x e y por los valores del punto por el cual debe pasar dicha recta: P₁ = (-3; -4) y despejamos b:

-4=  5/3 .(-3) + b

-4= -5 + b

-4+5 = b

1 = b        ordenada al origen de y₁

De ésta manera podemos escribir la ecuación de la recta paralela como:

y₁= 5/3 x + 1

Proseguimos con la ecuación de la recta perpendicular, cuya pendiente es inversa y opuesta a la de y= 5/3 x -4 , por lo que su pendiente será: m₂ = - 3/5 y su ecuación:

y₂= - 3/5 x + b

Utilizamos la misma estrategia aplicada anteriormente, pero con el punto P₂ = (10; -3):

-3 = - 3/5 .(10) + b

-3 = -6+b

-3+6 = b

3 = b         ordenada al origen de y₂

Por lo tanto la ecuación de la recta perpendicular es: 

y₂ = - 3/5 x + 3

(También se podría haber utilizado la forma punto-pendiente para hallar la ecuación)

ACTIVIDADES PARA RESOLVER:

1)      Hallar la ecuación de la recta paralela a y=3x-4 que pasa por el punto P=(-3; -10). Graficar (Para ello puedes utilizar el garficador que se encuentra a la derecha del blog, colocando la función y presionando "submit").

2)      Determinar la ecuación de la recta perpendicular a y=2/3 x-1 que pasa por el punto Q=(4; -2). Graficar.

3)      Teniendo en cuenta la ecuación de la recta y= 2/5x -3 hallar:

La recta paralela que pasa por A=(8; -18).

a)      La recta perpendicular que contiene a B=(10; 1).

b)      Una recta paralela cuya ordenada al origen sea positiva.

c)       Una recta perpendicular cuya ordenada al origen se igual a 2.

d)      Graficar todas las rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos.

4)      Hallar la recta que pasa por los puntos P=(2; 8) y Q=(-1; 7). Luego:

a)      Determinar una recta paralela a ella que contiene al punto R=(2; 11).

b)      Encontrar la recta perpendicular que pasa por S=(5; 3).

c)       Graficar las tres rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos.



Haciendo clic aquí puedes observar problemas de aplicación resueltos y otros para resolver.