Bienvenidos!

Mi nombre es Jesica y en éste blog se expondrán contenidos referidos al tema "Función lineal". También se incluyen imágenes, ejemplos, actividades para resolver y enlaces a videos explicativos o a información ampliatoria.

Índice

Función lineal: definición.

Ángulo de inclinación de la recta y Variación uniforme.

Función creciente, decreciente y constante.

Representaciones de la función lineal.

Ecuación de la recta.

Rectas paralelas y perpendiculares.

Problemas de aplicación.

Función lineal: definición

La función lineal (o función afín) de la forma f(x)=mx+b es una función polinómica de primer grado, siendo m y b números Reales. La gráfica es una línea recta y sus parámetros son:

• m: es la pendiente e indica la inclinación de la recta. Es el cociente entre la variación de la variable dependiente y la variación de la variable dependiente:

• b: es la ordenada al origen e indica el valor en donde la gráfica corta al eje de las ordenadas (eje y).

 f(0)=b

EJEMPLO 1: En la función f(x)= 2/5 x+1 la ordenada al origen es -1 y la pendiente 2/5 (donde su variación en x es 5 unidades y su variación en y es 2 unidades).

EJEMPLO 2: En la función g(x)= 4-1/2 x, la ordenada al origen es 4 y la pendiente es  -1/2 (por lo que su variación en x es 2 unidades y su variación en y es -1).

EJEMPLO 3: En la función h(x)= 3x, la ordenada al origen es 0 y la pendiente es 3, que escrito en forma de fracción es igual a 3/1 (así su variación en x es 1 unidad y su variación en y es 3 unidades)

ACTIVIDAD PARA RESOLVER:

Dadas las siguientes funciones determinar la pendiente y la ordenada al origen:

• f(x)= 4x-9
• g(x)= 2/7 x +1
• h(x)= 5-2x
• i(x)= 5
• j(x)= -6x
• k(x)= -6-1/2 x
• l(x)= 1/2 + 3/4 x
• m(x)= x+2
• n(x)= -x-4
• p(x)= 2/3x

Ángulo de inclinación de la recta y Variación uniforme

PENDIENTE Y ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE LA RECTA

El ángulo de inclinación es el que forma la recta con el eje de las abscisas (eje x). A partir de él también se puede conocer el valor de la pendiente, ya que se forma un triángulo rectángulo cuyos catetos son: la variación en x y la variación en y . Como la fórmula trigonométrica que relaciona los catetos es la de la tangente del ángulo podemos escribir la pendiente de la recta como:

(Para ampliar la información visita éste enlace)

Observa la explicación en el siguiente video:

VARIACIÓN UNIFORME

Una de las características de la función lineal es la de poseer una “variación uniforme”, es decir, que cada vez que la variable independiente aumenta o disminuye un determinado valor, la variable dependiente también aumenta o disminuye una cierta cantidad. Esta variación es siempre constante e igual a la pendiente.

(Ver aquí un ejemplo)

Función creciente, decreciente y constante

El valor de la pendiente determina si una función lineal es creciente, decreciente o constante.

•  FUNCIÓN CRECIENTE: Su pendiente es positiva (m>0) y el ángulo de inclinación es agudo.

Ejemplo: f(x)= 3x-2

  

• FUNCIÓN DECRECIENTE: Su pendiente es negativa (m<0) y el ángulo de inclinación es obtuso.

Ejemplo: f(x) = 5-4x

  

•     FUNCIÓN CONSTANTE: Su pendiente es igual a cero (m=0), por lo tanto la recta no tiene inclinación.

Ejemplo: f(x)= -2

ACTIVIDADES PARA RESOLVER:

1)      Dadas las siguientes funciones lineales indicar si son crecientes, decrecientes o constantes. Determinar la pendiente y la ordenada al origen, luego graficarlas (para ello puedes utilizar el graficador que se encuentra a la derecha del blog colocando la función y  presionando "submit") :
a)      f(x)= 3x-8
b)      g(x)= -5x-7
c)       h(x)= 2-1/2 x
d)      i(x)= -3-4x
e)      j(x)= 5-3/5 x
f)       k(x)= ¾ x +1

2)      Observar las imágenes y determinar si la función de cada recta es creciente, decreciente o constante:

Representaciones de la función lineal

Una función puede representarse mediante su ecuación (o fórmula), una tabla de valores y una gráfica (en éste caso es una línea recta).

• ECUACIÓN: La ecuación de la recta puede presentarse en diferentes formas, la que venimos trabajando aquí es su “forma explícita”. Ejemplo: y=2x-4

• TABLA DE VALORES: Consiste en dar valores a la variable independiente y calcular los valores de la variable dependiente a partir de la fórmula. La tabla del ejemplo anterior es:

x	y=2x-4
3	2.(3)-4= 2
2	2.(2)-4= 0
1	2.(1)-4= -2
0	2.(0)-4= -4
-1	2.(-1)-4= -6

• GRÁFICA: La gráfica puede obtenerse a través de dos procedimientos:

·     - Ubicando en el plano cartesiano los puntos hallados en la tabla de valores. Para saber cómo hacerlo puedes mirar el siguiente video:

·     -  A partir de los valores de la pendiente y la ordenada al origen en la ecuación. Observa la explicación del video: 

ACTIVIDAD PARA RESOLVER

e En el siguiente enlace podrás realizar una actividad interactiva en la que aplicarás los contenidos vistos hasta aquí. Para ello primero necesitas descargar el documento.



https://1drv.ms/p/s!AitRk72dPr3xd86gim7bfGR-a0g

Ecuación de la recta

ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO LA PENDIENTE Y UN PUNTO

La ecuación de la recta que tiene pendiente m y pasa por el punto (x₁; y₁) es:

y-y₁= m.(x-x₁)

Se denomina "forma punto-pendiente" de la ecuación de la recta.

Ejemplo: si la recta tiene pendiente -3 y pasa por el punto (1; 3), entonces sustituyo en la forma punto-pendiente los valores de m= -3, x₁ =1 y y₁ = 3:

y-3= -3.(x-1)      despejo y 
y-3= -3x+3         aplico por propiedad distributiva
y= -3x+3+3
y= -3x+6          Ecuación de la recta

Si no te ha quedado claro puedes ver el siguiente video:

ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO DOS PUNTOS

Ejemplo: para hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P₁=(3; -9) y P₂=(-1; 11), primero se calcula la pendiente con la fórmula:

Entonces sustituyo de la siguiente manera: 

Luego se utiliza la forma punto-pendiente de la ecuación para sustituir allí el valor de la pendiente calculada y los valores x₁ e y₁ por las coordenadas de cualquiera de los dos puntos dados. Por último se despeja y:

y-y₁= m.(x-x₁)

y-(-9)= -5.(x-3)            sustituyo los valores (tomé el punto (3; -9) )

y+9 = -5x+15              aplico por propiedad distributiva

y = -5x+15-9  

y = -5x+6                    Ecuación de la recta

  

En el siguiente video puedes ver otra forma de hallar la ecuación  de la recta que pasa por dos puntos:

ACTIVIDADES PARA RESOLVER:

1)      Hallar las ecuaciones de cada una de las rectas que cumplen con las siguientes condiciones:

a)      Contiene al punto P=(3; 2) y tiene pendiente igual a -2.

b)      Pasa por los puntos P₁=(-5; -4) y P₂=(-4; -2).

c)       Pasa por el punto Q=(-1¸-9) y tiene pendiente igual a -9.

d)      Contiene a los puntos A=(2; 10) y B=(1; 3).

e)      Pasa por los puntos P=(-3; -8) y Q=(7; 2).

f)       Tiene pendiente m=1  y contiene al punto A=(7; 4).

g)      Pasa por el punto D=(-7; 2) y tiene pendiente m=3/7.

Luego grafica cada una en el graficador que se encuentra a la derecha del blog, (para ello colocas la función y presionas "submit") y verifica que tales rectas pasan por los puntos indicados.

2)      Determinar la ecuación de la rectas que se muestran en las siguientes imágenes:

Rectas paralelas y perpendiculares

RECTAS PARALELAS: dos rectas son paralelas, si y sólo si, sus pendientes son iguales.

Ejemplo: Las rectas de las funciones:      

f(x) = ½ x +3

g(x) = ½ x -1

son paralelas porque la pendiente en ambas es ½ .

RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas son perpendiculares, si y sólo si, sus pendientes son inversas y opuestas.

Ejemplo: Las rectas de las funciones:

f(x)= 2/3  x +1

g(x)= -3/2  x +4

son perpendiculares porque en f(x) la pendiente es 2/3, y en g(x) es -3/2.

EJEMPLO: Hallar la recta paralela a y= 5/3 x -4 que pasa por el punto P₁ = (-3; -4), y la recta perpendicular que pasa por el punto P₂ = (10; -3).

Primero hallamos la recta paralela, la cual tendrá la misma pendiente: m₁ = 5/3 , por lo que podemos comenzar a escribir su ecuación como:

y₁=  5/3  x + b

Para calcular el valor de la ordenada al origen, sustituimos los valores de x e y por los valores del punto por el cual debe pasar dicha recta: P₁ = (-3; -4) y despejamos b:

-4=  5/3 .(-3) + b

-4= -5 + b

-4+5 = b

1 = b        ordenada al origen de y₁

De ésta manera podemos escribir la ecuación de la recta paralela como:

y₁= 5/3 x + 1

Proseguimos con la ecuación de la recta perpendicular, cuya pendiente es inversa y opuesta a la de y= 5/3 x -4 , por lo que su pendiente será: m₂ = - 3/5 y su ecuación:

y₂= - 3/5 x + b

Utilizamos la misma estrategia aplicada anteriormente, pero con el punto P₂ = (10; -3):

-3 = - 3/5 .(10) + b

-3 = -6+b

-3+6 = b

3 = b         ordenada al origen de y₂

Por lo tanto la ecuación de la recta perpendicular es: 

y₂ = - 3/5 x + 3

(También se podría haber utilizado la forma punto-pendiente para hallar la ecuación)

ACTIVIDADES PARA RESOLVER:

1)      Hallar la ecuación de la recta paralela a y=3x-4 que pasa por el punto P=(-3; -10). Graficar (Para ello puedes utilizar el garficador que se encuentra a la derecha del blog, colocando la función y presionando "submit").

2)      Determinar la ecuación de la recta perpendicular a y=2/3 x-1 que pasa por el punto Q=(4; -2). Graficar.

3)      Teniendo en cuenta la ecuación de la recta y= 2/5x -3 hallar:

La recta paralela que pasa por A=(8; -18).

a)      La recta perpendicular que contiene a B=(10; 1).

b)      Una recta paralela cuya ordenada al origen sea positiva.

c)       Una recta perpendicular cuya ordenada al origen se igual a 2.

d)      Graficar todas las rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos.

4)      Hallar la recta que pasa por los puntos P=(2; 8) y Q=(-1; 7). Luego:

a)      Determinar una recta paralela a ella que contiene al punto R=(2; 11).

b)      Encontrar la recta perpendicular que pasa por S=(5; 3).

c)       Graficar las tres rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos.



Haciendo clic aquí puedes observar problemas de aplicación resueltos y otros para resolver.