martes, 22 de noviembre de 2016

Bienvenidos!

Mi nombre es Jesica y en éste blog se expondrán contenidos referidos al tema "Función lineal". También se incluyen imágenes, ejemplos, actividades para resolver y enlaces a videos explicativos o a información ampliatoria.

Función lineal: definición



La función lineal (o función afín) de la forma f(x)=mx+b es una función polinómica de primer grado, siendo m y b números Reales. La gráfica es una línea recta y sus parámetros son:
  • m: es la pendiente e indica la inclinación de la recta. Es el cociente entre la variación de la variable dependiente y la variación de la variable dependiente:



  • b: es la ordenada al origen e indica el valor en donde la gráfica corta al eje de las ordenadas (eje y).

 f(0)=b





EJEMPLO 1: En la función f(x)= 2/5 x+1 la ordenada al origen es -1 y la pendiente 2/5 (donde su variación en x es 5 unidades y su variación en y es 2 unidades).








EJEMPLO 2: En la función g(x)= 4-1/2 x, la ordenada al origen es 4 y la pendiente es  -1/2 (por lo que su variación en x es 2 unidades y su variación en y es -1).








EJEMPLO 3: En la función h(x)= 3x, la ordenada al origen es 0 y la pendiente es 3, que escrito en forma de fracción es igual a 3/1 (así su variación en x es 1 unidad y su variación en y es 3 unidades)








ACTIVIDAD PARA RESOLVER:

Dadas las siguientes funciones determinar la pendiente y la ordenada al origen:


  • f(x)= 4x-9
  • g(x)= 2/7 x +1
  • h(x)= 5-2x
  • i(x)= 5
  • j(x)= -6x
  • k(x)= -6-1/2 x
  • l(x)= 1/2 + 3/4 x
  • m(x)= x+2
  • n(x)= -x-4
  • p(x)= 2/3x





Ángulo de inclinación de la recta y Variación uniforme


PENDIENTE Y ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE LA RECTA

El ángulo de inclinación es el que forma la recta con el eje de las abscisas (eje x). A partir de él también se puede conocer el valor de la pendiente, ya que se forma un triángulo rectángulo cuyos catetos son: la variación en x y la variación en y . Como la fórmula trigonométrica que relaciona los catetos es la de la tangente del ángulo podemos escribir la pendiente de la recta como:









(Para ampliar la información visita éste enlace)

Observa la explicación en el siguiente video:




VARIACIÓN UNIFORME

Una de las características de la función lineal es la de poseer una “variación uniforme”, es decir, que cada vez que la variable independiente aumenta o disminuye un determinado valor, la variable dependiente también aumenta o disminuye una cierta cantidad. Esta variación es siempre constante e igual a la pendiente.

(Ver aquí un ejemplo)

Función creciente, decreciente y constante

El valor de la pendiente determina si una función lineal es creciente, decreciente o constante.

  •  FUNCIÓN CRECIENTE: Su pendiente es positiva (m>0) y el ángulo de inclinación es agudo.
Ejemplo: f(x)= 3x-2

  
  • FUNCIÓN DECRECIENTE: Su pendiente es negativa (m<0) y el ángulo de inclinación es obtuso.
Ejemplo: f(x) = 5-4x

      



    •     FUNCIÓN CONSTANTE: Su pendiente es igual a cero (m=0), por lo tanto la recta no tiene inclinación.

    Ejemplo: f(x)= -2



    ACTIVIDADES PARA RESOLVER:

    1)      Dadas las siguientes funciones lineales indicar si son crecientes, decrecientes o constantes. Determinar la pendiente y la ordenada al origen, luego graficarlas (para ello puedes utilizar el graficador que se encuentra a la derecha del blog colocando la función y  presionando "submit") :
    a)      f(x)= 3x-8
    b)      g(x)= -5x-7
    c)       h(x)= 2-1/2 x
    d)      i(x)= -3-4x
    e)      j(x)= 5-3/5 x
    f)       k(x)= ¾ x +1

    2)      Observar las imágenes y determinar si la función de cada recta es creciente, decreciente o constante:



    Representaciones de la función lineal


    Una función puede representarse mediante su ecuación (o fórmula), una tabla de valores y una gráfica (en éste caso es una línea recta).


    • ECUACIÓN: La ecuación de la recta puede presentarse en diferentes formas, la que venimos trabajando aquí es su “forma explícita”. Ejemplo: y=2x-4


    • TABLA DE VALORES: Consiste en dar valores a la variable independiente y calcular los valores de la variable dependiente a partir de la fórmula. La tabla del ejemplo anterior es:

    x
    y=2x-4 
    3
    2.(3)-4= 2
    2
    2.(2)-4= 0
    1
    2.(1)-4= -2
    0
    2.(0)-4= -4
    -1
    2.(-1)-4= -6

    • GRÁFICA: La gráfica puede obtenerse a través de dos procedimientos:
    ·     - Ubicando en el plano cartesiano los puntos hallados en la tabla de valores. Para saber cómo hacerlo puedes mirar el siguiente video:


    ·     -  A partir de los valores de la pendiente y la ordenada al origen en la ecuación. Observa la explicación del video: 




    ACTIVIDAD PARA RESOLVER

    e En el siguiente enlace podrás realizar una actividad interactiva en la que aplicarás los contenidos vistos hasta aquí. Para ello primero necesitas descargar el documento.



    https://1drv.ms/p/s!AitRk72dPr3xd86gim7bfGR-a0g





    Ecuación de la recta


    ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO LA PENDIENTE Y UN PUNTO

    La ecuación de la recta que tiene pendiente m y pasa por el punto (x1; y1) es:
    y-y1= m.(x-x1)
    Se denomina "forma punto-pendiente" de la ecuación de la recta.


    Ejemplo: si la recta tiene pendiente -3 y pasa por el punto (1; 3), entonces sustituyo en la forma punto-pendiente los valores de m= -3, x1 =1y1 = 3:

    y-3= -3.(x-1)      despejo y 
    y-3= -3x+3         aplico por propiedad distributiva
    y= -3x+3+3
    y= -3x+6          Ecuación de la recta






    Si no te ha quedado claro puedes ver el siguiente video:









    ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO DOS PUNTOS


    Ejemplo: para hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1=(3; -9) y P2=(-1; 11), primero se calcula la pendiente con la fórmula:

    Entonces sustituyo de la siguiente manera: 




    Luego se utiliza la forma punto-pendiente de la ecuación para sustituir allí el valor de la pendiente calculada y los valores x1 e y1 por las coordenadas de cualquiera de los dos puntos dados. Por último se despeja y:

    y-y1= m.(x-x1)
    y-(-9)= -5.(x-3)            sustituyo los valores (tomé el punto (3; -9) )
    y+9 = -5x+15              aplico por propiedad distributiva
    y = -5x+15-9  
    y = -5x+6                    Ecuación de la recta




      
    En el siguiente video puedes ver otra forma de hallar la ecuación  de la recta que pasa por dos puntos:





    ACTIVIDADES PARA RESOLVER:

    1)      Hallar las ecuaciones de cada una de las rectas que cumplen con las siguientes condiciones:
    a)      Contiene al punto P=(3; 2) y tiene pendiente igual a -2.
    b)      Pasa por los puntos P1=(-5; -4) y P2=(-4; -2).
    c)       Pasa por el punto Q=(-1¸-9) y tiene pendiente igual a -9.
    d)      Contiene a los puntos A=(2; 10) y B=(1; 3).
    e)      Pasa por los puntos P=(-3; -8) y Q=(7; 2).
    f)       Tiene pendiente m=1  y contiene al punto A=(7; 4).
    g)      Pasa por el punto D=(-7; 2) y tiene pendiente m=3/7.

    Luego grafica cada una en el graficador que se encuentra a la derecha del blog, (para ello colocas la función y presionas "submit") y verifica que tales rectas pasan por los puntos indicados.


    2)      Determinar la ecuación de la rectas que se muestran en las siguientes imágenes:















    Rectas paralelas y perpendiculares


    RECTAS PARALELAS: dos rectas son paralelas, si y sólo si, sus pendientes son iguales.

    Ejemplo: Las rectas de las funciones:      
    f(x) = ½ x +3
    g(x) = ½ x -1
    son paralelas porque la pendiente en ambas es ½ .








    RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas son perpendiculares, si y sólo si, sus pendientes son inversas y opuestas.

    Ejemplo: Las rectas de las funciones:
    f(x)= 2/3  x +1
    g(x)= -3/2  x +4
    son perpendiculares porque en f(x) la pendiente es 2/3, y en g(x) es -3/2.




    EJEMPLO: Hallar la recta paralela a y= 5/3 x -4 que pasa por el punto P1 = (-3; -4), y la recta perpendicular que pasa por el punto P2 = (10; -3).

    Primero hallamos la recta paralela, la cual tendrá la misma pendiente: m1 = 5/3 , por lo que podemos comenzar a escribir su ecuación como:

    y1=  5/3  x + b

    Para calcular el valor de la ordenada al origen, sustituimos los valores de x e y por los valores del punto por el cual debe pasar dicha recta: P1 = (-3; -4) y despejamos b:

    -4=  5/3 .(-3) + b
    -4= -5 + b
    -4+5 = b
    1 = b        ordenada al origen de y1

    De ésta manera podemos escribir la ecuación de la recta paralela como:


    y1= 5/3 x + 1

    Proseguimos con la ecuación de la recta perpendicular, cuya pendiente es inversa y opuesta a la de y= 5/3 x -4 , por lo que su pendiente será: m2 = - 3/5 y su ecuación:

    y2= - 3/5 x + b

    Utilizamos la misma estrategia aplicada anteriormente, pero con el punto P2 = (10; -3):

    -3 = - 3/5 .(10) + b
    -3 = -6+b
    -3+6 = b
    3 = b         ordenada al origen de y2

    Por lo tanto la ecuación de la recta perpendicular es: 


    y2 = - 3/5 x + 3



    (También se podría haber utilizado la forma punto-pendiente para hallar la ecuación)


    ACTIVIDADES PARA RESOLVER:

    1)      Hallar la ecuación de la recta paralela a y=3x-4 que pasa por el punto P=(-3; -10). Graficar (Para ello puedes utilizar el garficador que se encuentra a la derecha del blog, colocando la función y presionando "submit").

    2)      Determinar la ecuación de la recta perpendicular a y=2/3 x-1 que pasa por el punto Q=(4; -2). Graficar.

    3)      Teniendo en cuenta la ecuación de la recta y= 2/5x -3 hallar:
    La recta paralela que pasa por A=(8; -18).
    a)      La recta perpendicular que contiene a B=(10; 1).
    b)      Una recta paralela cuya ordenada al origen sea positiva.
    c)       Una recta perpendicular cuya ordenada al origen se igual a 2.
    d)      Graficar todas las rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos.

    4)      Hallar la recta que pasa por los puntos P=(2; 8) y Q=(-1; 7). Luego:
    a)      Determinar una recta paralela a ella que contiene al punto R=(2; 11).
    b)      Encontrar la recta perpendicular que pasa por S=(5; 3).
    c)       Graficar las tres rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos.



    Haciendo clic aquí puedes observar problemas de aplicación resueltos y otros para resolver.